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RC電路

2016-08-182024-02-19 mengwen

RC電路-微分器與積分器

充電：

$V=V_R+V_C=iR+\dfrac{Q}{C}$

$i(t)=\dfrac{dQ}{dt}$

$V=R\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{Q}{C}$ ⇒ $CR\dfrac{dQ}{dt}+Q-CV=0$

$Q(t)=CV(1-e^{-t/RC})$

$i(t)=\dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{V}{R}e^{-t/RC}$

(希望不要眼花key錯程式碼~)

$V_R=iR=Ve^{-t/RC}$

$V_C=V-V_R=V(1-e^{-t/RC})$

放電：

$V_R+V_C=iR+\dfrac{Q}{C}=0$

$R\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{Q}{C}=0$

$Q(t)=CVe^{-t/RC}$

$i(t)=\dfrac{dQ}{dt}=-\dfrac{V}{R}e^{-t/RC}$

$V_R=iR=-Ve^{-t/RC}$

$V_C=\dfrac{Q}{C}=Ve^{-t/RC}$

時間常數：

RC電路中影響充放電速度的是電容 C 和電阻 R 的乘積。

充電時，電容上的電荷量為 $Q(t)=CV(1-e^{-t/RC})$ 。電容上的電荷的變化量，是由 $e^{-t/RC}$ 所決定。當 RC 值很大時，則 Q(t) 需要較長的時間才可以累積到相同的電荷量。同樣的，若是 RC 值比較小時，則可以在比較短的時間內累積到相同的電荷量，也就是說充電速度比較快。

反之，放電時，電容上的電荷 $Q(t)=CVe^{-t/RC}$ 。當 RC 值很大時，則 Q(t) 需要比較長的時間將電荷釋出。如果 RC 值比較小，則在較短的時間內 Q(t) 就可以釋出。

定義 RC 電路的｢時間常數｣（time constant）為 $\tau=RC$ ，以便於描述不同 RC 電路的充放電情況。RC大，充放電速度慢。RC小，充放電速度快。

充電時：

當 $t=\tau=RC$ 時

$V_R=Ve^{-t/RC}=Ve^{-1}=0.37V$

$V_C=V(1-e^{-t/RC})=V(1-e^{-1})=0.63V$

當 $t=\tau=5RC$ 時

$V_C=V(1-e^{-t/RC})=V(1-e^{-5})=0.993V$ ⇒ 可視為電容已充飽。

$V_R=Ve^{-t/RC}=Ve^{-5}=0.007V$ ⇒ 可視為0V。

當 $V_C$ 從V的10%上升到V的90%，所經過的時間稱為上升時間 $t_r$ 。

放電時：

當 $t=\tau=RC$ 時

$V_C=Ve^{-t/RC}=Ve^{-1}=0.37V$

當 $t=\tau=5RC$ 時

$V_C=Ve^{-t/RC}=Ve^{-5}=0.007V$ ⇒ 可視為0V，完全放電。

當 $V_C$ 從V的90%下降到V的10%，所經過的時間稱為下降時間 $t_f$ 。

（零）元件

（一）微分電路

充電時： $V_R=Ve^{-t/RC}$

放電時： $V_R=-Ve^{-t/RC}$

$C=0.01\mu F$ ，改變R

（二）積分電路

充電時： $V_C=V(1-e^{-t/RC})$

放電時： $V_C=Ve^{-t/RC}$

$C=0.01uF$ ，改變R

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