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交流阻抗

2017-03-212017-06-26 mengwen

FROM：維基百科/阻抗

阻抗（electrical impedance）是電路中電阻、電感、電容對交流電的阻礙作用的統稱。阻抗衡量流動於電路的交流電所遇到的阻礙。阻抗將電阻的概念加以延伸至交流電路領域，不僅描述電壓與電流的相對振幅，也描述其相對相位。當通過電路的電流是直流電時，電阻與阻抗相等，電阻可以視為相位為零的阻抗。

電路中對電流抵抗的度量稱為阻抗（Impedance）。

阻抗的單位為ohm，符號為 $\Omega$ 。
可以把它想像成電阻，但比電阻複雜，阻抗會因頻率變化而跟著變化。

阻抗（Z）可分成兩個部分：
1）電阻（Resistance, R）-與頻率變化無關的部分。
2）電抗（Reactance, X）-又分為容抗（ $X_C$ ）和感抗（ $X_L$ ），這是電容、電感隨頻率變化的部分。

當通過電路的電流是直流電時，電阻與阻抗相等，電阻可以視為相位為零的阻抗。

輸入一個正弦波訊號 $V=V_0 sin(\omega t)$ 到迴路中，迴路會產生一個正弦波電流 $I=I_0 sin(\omega t+\theta)$

雖然振幅夠小可使電壓訊號和電流響應訊號的頻率（或角頻率）相同，但相位一般不相同，式中 $\theta$ 就是相位差。

定義 $|Z|=\dfrac{V_0}{I_0}$ ，而倒數 $\dfrac{I_0}{V_0}=|Y|$

可將電流改寫成 $I=I_0 sin(\omega t+\theta)=V_0|Y| sin(\omega t+\theta)$

$=V_0|Y| (sin(\omega t) cos\theta+cos(\omega t) sin \theta)$

假設 $Y'=|Y|cos\theta$

$Y"=|Y|sin\theta$

則可以將電流改寫為 $I=V_0(Y'sin(\omega t)+Y"cos(\omega t))$

用複數座標來表示 $Y'$ 和 $Y"$ ，寫成 $|Y|=Y'+iY"$

因為 $Z=\dfrac{1}{Y}$ ，所以 $|Z|=Z'+iZ"$

其中

$Z'=|Z|cos\theta$

$Z"=|Z|sin\theta$

$|Z|=\sqrt{Z'^2-(iZ")^2}=\sqrt{R^2+X^2}$

畫成阻抗圖：實部 $Z'$ 為電阻 $R$ ，虛部 $Z"$ 為電抗 $X$ ， $Z$ 稱為阻抗。

$\theta=tan^{-1}\dfrac{Z"}{Z'}=tan^{-1}\dfrac{X}{R}$

（1）通一個交流電 $V=V_0 sin(\omega t)$ 到電阻兩端。

電阻兩端電壓 $V_R=IR=V_0 sin(\omega t)$

$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{V_0}{R} sin(\omega t)$

電流和電壓相位相同（也就是說 $\theta=0$ ）

$Z'=R$

$Z"=0$

$|Z|=R$

理想電阻的阻抗圖為一點

（2）通一個交流電 $V=V_0 sin(\omega t)$ 到電容兩端。

電容充電， $V_C=\dfrac{Q}{C}$ ，而 $C=\dfrac{\epsilon A}{d}$ 為定值。

$i_C=C\dfrac{dV_C}{dt}$

$i_C=C\dfrac{dV_C}{dt}=C\dfrac{d}{dt}(V_0 sin(\omega t))=C \omega V_0 cos(\omega t)$

$=\omega C V_0 cos(\omega t)$

$=\omega C V_0 sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})$

$=I_0 sin(\omega t +\dfrac{\pi}{2})$

即指電流訊號相位超前電壓訊號 $\dfrac{\pi}{2}$ ，所以對於阻抗我們可得：

$Z'=0$

$Z"=\dfrac{1}{\omega C}$

$|Z|=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{2\pi f C}$ ， $\theta=\dfrac{\pi}{2}=90^0$ ， $Z=X_C$ 稱為容抗。

角頻率增加，阻抗值越接近原點。

（3）通一個交流電 $V=V_0 sin(\omega t)$ 到電感兩端。

$V_L=L\dfrac{dI}{dt}$

$i_L=\dfrac{V_o}{L} \int sin\omega t dt=\dfrac{V_0}{\omega L}sin(\omega t -\dfrac{\pi}{2})$

即指電流訊號相位落後電壓訊號 $\dfrac{\pi}{2}$ ，所以對於阻抗我們可得：

$Z'=0$

$Z"=\omega L$

$|Z|=\omega L=2\pi f L$ ， $\theta=-\dfrac{\pi}{2}=90^0$ ， $Z=X_L$ 稱為感抗。

角頻率增加，阻抗值越遠離原點。

（4）RC串聯電路

$Z=Z_R+Z_C=R+\dfrac{1}{i \omega C}$

$Z'=R$

$Z"=\dfrac{1}{\omega C}$

（5）RC並聯電路

$Z=Z_R+Z_C=\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}+i \omega C}$

$Z'=\dfrac{R}{1+(\omega R C)^2}$

$Z"=\dfrac{\omega R^2 C}{1+(\omega R C)^2}$

（6）RL串聯電路

（7）RL並聯電路

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