Home實驗項目1】幾何光學-焦距、成像與像差焦距量測

焦距量測

在焦點上的點光源通過透鏡，會形成平行光。

平行光通過透鏡，會聚焦在焦點上。

量測焦距的方法：

1-直接量測物距 $d_{object}$ 和像距 $d_{image}$ ，代入成像公式即可得到焦距。

$\dfrac{1}{d_o}+\dfrac{1}{d_i}=\dfrac{1}{f}$

2-共軛法

物與屏幕的距離 $A$ 不變，當凸透鏡在物與屏幕之間移動時，可以找到兩個位置，兩個位置相距 $a$ ，當凸透鏡在這兩個位置上時，屏幕上均可得到清晰成像。

$A=s+s'$

$\dfrac{1}{s_1}+\dfrac{1}{s'_1}=\dfrac{1}{f}$ ⇒ $s'_1=\dfrac{s_1 f}{s_1-f}$

$A=s_1+\dfrac{s_1 f}{s_1-f}=\dfrac{s_1^2}{s_1-f}$

$\dfrac{dA}{ds_1}=\dfrac{2s_1}{s_1-f}-\dfrac{s_1^2}{(s_1-f)^2}=\dfrac{s_1(s_1-2f)}{(s_1-f)^2}=0$

$s_1=2f$

$A=s_1+\dfrac{s_1 f}{s_1-f}=4f$ ... $A$ 的最小值

$A-a=s_1+s'_2=2s_1$

$s_1=\dfrac{A-a}{2}$

$s'_1=A-s_1=\dfrac{A+a}{2}$

$\dfrac{1}{s_1}+\dfrac{1}{s'_1}=\dfrac{1}{f}$

$f=\dfrac{s_1 s'_1}{s_1+s'_1}=\dfrac{A^2-a^2}{4A}$

（位置1與位置2均可得到清晰成像）

3-自準法

點光源 $S_0$ 置於透鏡 L 的第一焦點上，光線經透鏡L 後會形成一束與光軸平行的光束。在 L 後面置放一片與光軸垂直的平面反射鏡 M，將此平行光反射回去，則 $S_0$ 必將成像於透鏡 L 的焦平面上，L 與 $S_0$ 的距離就是透鏡的焦距。

4-光線追跡法-單透鏡系統

5-光線追跡法-雙透鏡系統

光學基本平面（cardinal planes）

$L$ ：輸入平面-輸出平面（圖中的是小寫的 $l$ ，怕與數字 1 搞混，以下式子寫成大寫的 $L$ 。）

$WD$ ：working distance，工作距離，輸出平面-焦平面

$f_{syst}$ ：系統焦距，主平面-焦平面

利用ABCD矩陣法

$M_{syst}$ $=\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{1}{f_2} & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & L \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{1}{f_1} & 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 1-\dfrac{L}{f_1} & L \\ -[(1-\dfrac{L}{f_1})\dfrac{1}{f_2}+\dfrac{1}{f_1}] & 1-\dfrac{L}{f_2} \end{bmatrix}$

$f_{syst}=-\dfrac{1}{C}$

$\dfrac{1}{f_{syst}}=(1-\dfrac{L}{f_1})\dfrac{1}{f_2}+\dfrac{1}{f_1}=\dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}-\dfrac{L}{f_1 f_2}$

$f_{syst}=\dfrac{f_1 f_2}{f_1+f_2-L}$

$WD=f_{syst}-\dfrac{L}{f_1}f_{syst}=(1-\dfrac{L}{f_1})f_{syst}=\dfrac{f_2(f_1-L)}{f_1+f_2-L}$

$\dfrac{1}{WD}=\dfrac{1}{f_1-L}+\dfrac{1}{f_2}$

思考： $L \approx 0$ ，會怎樣？討論WD與焦距的關係。

思考：L大小的限制？

提示： $WD>0$