CH03向量與微積分

純量（Scalars）與向量（Vectors）

1 】路徑長（Distance）：點A到點B間的路徑長，此為純量，圖1中，以紅色虛線表示。

2 】位移（Displacement）：兩點位置的改變，此為向量，圖1中，以藍色實線表示。

(圖1)

（圖2）

3 】純量：只有大小的量，以「 $A$ 」表示。

4 】向量：有大小，有方向的量，以「 $\vec{A}$ 」表示。書本印刷體記號為「 $\boldsymbol{A}$ 」。向量 $A$ 的大小表示為 $|\vec{A}|$ 或 $A$ 。

分量：

一個向量 $\vec{A}$ 在 xy 平面上，可以將其分為在 x 軸與 y 軸上的兩個分量。

$A_x=A \cos \theta$

$A_y=A \sin \theta$

$\vec{A}=A_x \hat{i}+A_y \hat{j}$

$A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

與x軸夾角： $\tan \theta=\dfrac{A_y}{A_x}$

單位向量（Unit Vector）： $\hat{i}$ 、 $\hat{j}$ 、 $\hat{k}$

$|\hat{i}|=|\hat{j}|=|\hat{k}|=1$

$\vec{A}=A_x \hat{i}+A_y \hat{j}+A_z \hat{k}$

向量運算：

1】向量加法：向量和

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$
$|\vec{a}+\vec{b}| \ne |\vec{a}|+|\vec{b}|=a+b$

2】純量乘積（內積）（Dot Product）：

兩向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，其內積定義為 $\vec{a} \cdot \vec{b}=ab\cos\theta$

3】向量乘積（外積）（Cross Product）：

兩向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，其外積定義為 $\vec{a} \times \vec{b}=a b\sin\theta \hat{n}$

右手定則（right-hand rule）：將右手四指由 $\vec{a}$ 方向轉到 $\vec{b}$ 方向，此時大拇指方向指向 $\vec{a} \times \vec{b}$ 方向。
（※安培右手定則：右手四指方向順著電流方向時，大拇指會指向磁場方向。）

關於行列式展開：

二維行列式定義：

$\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1$

三維行列式可以用二維行列式來表示：

$\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=+a_1\begin{vmatrix}b_2&b_3\\c_2&c_3\end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix}b_1&b_3\\c_1&c_3\end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix}b_1&b_2\\c_1&c_2\end{vmatrix}$

$=a_1(b_2c_3-b_3c_2)-a_2(b_1c_3-b_3c_1)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)$

它也可以沿著任何其他的行或列擴展。例如，下列式子是沿著第二列（式子中紅色部分）擴展

另外一種行列式展開的方法：

$\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=a_1(b_2c_3-c_2b_3)+a_2(b_3c_1-c_3b_1)+a_3(b_1c_2-c_1b_2)$

向量外積

$\vec{A}=(a,b,c)$

$\vec{D}=(d,e,f)$

$\vec{A}\times \vec{D}=\begin{vmatrix} a) & b & c & a & b & (c\\ d) & e & f & d & e & (f \end{vmatrix}=(bf-ce)\hat{i}+(cd-af)\hat{j}+(ae-bd)\hat{k}$

梯度（Gradient）、散度（Divergence）與旋度（curl）：

1】梯度（Gradient）

$\triangledown u=\dfrac{ \partial u}{ \partial x} \hat{x}+\dfrac{ \partial u}{ \partial y} \hat{y}+\dfrac{ \partial u}{ \partial z} \hat{z}$

2】散度（Divergence）

$\triangledown \cdot \vec{v}=\dfrac{ \partial v_x}{ \partial x} +\dfrac{ \partial v_y}{ \partial y} +\dfrac{ \partial v_z}{ \partial z}$

3】旋度（curl）

$\triangledown \times \vec{v}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{ \partial }{ \partial x} & \frac{ \partial }{ \partial y} & \frac{ \partial }{ \partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}=\hat{x}(\dfrac{ \partial v_z}{ \partial y} -\dfrac{ \partial v_y}{ \partial z} )+\hat{y}(\dfrac{ \partial v_x}{ \partial z}-\dfrac{ \partial v_z}{ \partial x}) +\hat{z}(\dfrac{ \partial v_y}{ \partial x}-\dfrac{ \partial v_x}{ \partial y} )$

座標系：

1】直角座標（Cartesian coordinates）： $(x,y,z)$

2】柱坐標（Cylindrical coordinates）： $(\rho,\phi,z)$

3】球坐標（Spherical Polar coordinates）： $(r,\theta,\phi)$

【補充】微積分書本常用定義 $r, \rho, \theta, \phi$ 等定義，有時與物理書本常用的極座標定義有差異。

補充：三角函數

$\sin \theta=\dfrac{Y}{Z}$	$\cos \theta=\dfrac{X}{Z}$
$\tan \theta=\dfrac{Y}{X}=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$	$\cot \theta=\dfrac{X}{Y}=\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}=\dfrac{1}{\tan \theta}$
$\sec \theta=\dfrac{Z}{X}=\dfrac{1}{\cos \theta}$	$\csc \theta=\dfrac{Z}{Y}=\dfrac{1}{\sin \theta}$

倒數關係：

$\sin \theta=\dfrac{1}{\csc \theta}$	$\csc \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}$
$\cos \theta=\dfrac{1}{\sec \theta}$	$\sec \theta=\dfrac{1}{\cos \theta}$
$\tan \theta=\dfrac{1}{\cot \theta}$	$\cot \theta=\dfrac{1}{\tan \theta}$

平方關係：三個倒三角形（圖中有塗顏色的那三個）

$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$

$\tan^2 \theta+1=\sec^2 \theta$

$1+\cot^2 \theta=\csc^2 \theta$

商數關係：逆時針轉一圈

$\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$	$\dfrac{\tan \theta}{\sin \theta}=\sec \theta$	$\dfrac{\sec \theta}{\tan \theta}=\csc \theta$
$\dfrac{\csc \theta}{\sec \theta}=\cot \theta$	$\dfrac{\cot \theta}{\csc \theta}=\cos \theta$	$\dfrac{\cos \theta}{\cot \theta}=\sin \theta$

餘角關係：

$\sin(90^0-\theta)=\cos \theta$	$\cos(90^0-\theta)=\sin \theta$
$\tan(90^0-\theta)=\cot \theta$	$\cot(90^0-\theta)=\tan \theta$
$\sec(90^0-\theta)=\csc \theta$	$\csc(90^0-\theta)=\sec \theta$

提醒：

$(\sin\theta)^2=\sin^2\theta$

$(\sin\theta)^3=\sin^3\theta$

但

$(\sin\theta)^{-1}=\dfrac{1}{\sin\theta} \ne \sin^{-1}\theta$

$\sin\theta=a \to \theta=\sin^{-1}a$

兩角和、兩角差：

$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

$\tan(\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha \tan\beta}$

和差化積、積化和差：

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha-\beta}{2})$	$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$
$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2})$	$\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha-\beta}{2})$	$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$
$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2})$	$\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{-1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$