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CH09質心運動與動量

質心：Center of Mass（簡寫成com 或CM）

$\vec{r}_{CM}=\dfrac{\sum_{i=1}^n m_i\vec{r}_i}{\sum_{i=1}^n m_i}=(x_{CM} ,y_{CM} ,z_{CM})$

$\vec{P}=m\vec{v}_{CM}$

$\vec{v}_{CM}=\dot{\vec{r}}_{CM}$

$\vec{F}_{ect}=0$ ⇒ $\vec{P}=constant$

$x_{CM}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$

$x_{CM}=\dfrac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{M}=\dfrac{1}{M} \int x\, dm$

動量 $\vec{p}$ ：

$\vec{p}=m\vec{v}$ ...粒子的線動量

$\vec{F}_{net}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}$

衝量impulse：動量的變化量

$\Delta \vec{p}=\vec{J}=\vec{p}_f-\vec{p}_i$

$d\vec{p}=\vec{F}(t)dt$

$\int_{t_i}^{t_f} d\vec{p}=\int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)dt$

$\vec{J}=\int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)dt$

動量守恆：（指的是線動量守恆）

$\vec{P}_i=\vec{P}_f$ （closed封閉, isolated孤立 system）

$\vec{p}=constant$ （closed封閉, isolated孤立 system）

Elastic collision（彈性碰撞）：動量守恆、能量守恆

Inelastic collision（非彈性碰撞）：動能不守恆（動能有損耗）

Completely inelastic collision（完全非彈性碰撞）：動能轉換成其他形式的能量（例如：熱能）。

一維彈性碰撞：兩個粒子 $m_1$ 和 $m_2$ ，碰撞前速度分別為 $v_{1i}$ 和 $v_{2i}$ ，碰撞後速度為

$v_{1f}=\dfrac{(m_1-m_2) v_{1i}+2 m_2 v_{2i}}{m_1+m_2}$

$v_{2f}=\dfrac{2m_1 v_{1i}+2 (m_2-m_1) v_{2i}}{m_1+m_2}$

如果計算得到的速度為負值，表示方向與預設的相反。

證明：

1-能量守恆： $K_{1i}+K_{2i}=K_{1f}+K_{2f}$

$\dfrac{1}{2}m_1 v_{1i}^2+\dfrac{1}{2}m_2 v_{2i}^2=\dfrac{1}{2}m_1 v_{1f}^2+\dfrac{1}{2}m_2 v_{2f}^2$ ...(1)

$m_1(v_{1i}^2-v_{1f}^2)=m_2(v_{2f}^2-v_{2i}^2)$

$m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f})=m_2(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})$ ...(3)

2-動量守恆： $\vec{p}_{1i}+\vec{p}_{2i}=\vec{p}_{1f}+\vec{p}_{2f}$

$m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}=m_1 v_{1f}+m_2 v_{2f}$ ...(2)

$m(v_{1i}-v_{1f})=m(v_{2f}-v_{2i})$ ...(4)

由(3)和(4)： $v_{1i}+v_{1f}=v_{2i}+v_{2f}$

代回(2)： $m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}=m_1 v_{1f}+m_2 (v_{1i}+v_{1f}-v_{2i})$

$(m_1-m_2)v_{1i}+2m_2 v_{2i}=(m_1+m_2)v_{1f}$

$v_{1f}=\dfrac{(m_1-m_2) v_{1i}+2 m_2 v_{2i}}{m_1+m_2}$

同理可證：

$v_{2f}=\dfrac{2m_1 v_{1i}+2 (m_2-m_1) v_{2i}}{m_1+m_2}$