CH10轉動 I | mengwen

剛體（Rigid body），不因外力而型變的物體。

固定軸（Fixed axis），不變的軸，轉軸位置及指向均為固定不變。
（保齡球沿著球道的滾動rolling motion，是對一個動的軸做轉動，轉動軸一直在移動。一個圓柱沿著斜波往下滾動，轉動軸的指向不變，但轉動軸一直在移動。）

Asix of rotation （rotation axis）轉動軸，一剛體對一固定軸做轉動運動，稱此固定軸為轉動軸。

rad：radian（弧度）（徑度?弳度?...應該是弳度~不是徑度）：從A點到B點，所經過的弧度大小為 $\theta=\dfrac{s}{r}$

弧長 $s=r \theta$
半徑為R的圓的圓週長： $2 \pi R$

rev：revolution（圈）

$1 rev=360^0=2 \pi rad$
（轉一圈＝ $2\pi$ 弧度）

$1 rad=\dfrac{360^0}{2 \pi}=57.3^0$

$=\dfrac{1}{2\pi}rev=0.159rev$

補充1：degree 的意思是『度數』，可用來表達『溫度』或『角度』。

在這邊，我們會稱角度為 degree，弧度為 radian。

補充2：單位弧度定義為『圓弧長度』等於『半徑』時的圓心角。

角度以弧度方式寫出來時，通常不會寫弧度單位，有時記為rad。因為圓周長為 $2\pi r$ ，所以轉一圈為弳度 $2\pi$

$\theta=\dfrac{s}{r}$ ，當 $s=r$ 時，為 1 rad。

圖片來源：https://askeyphysics.org/home/

rpm＝revolution per min
每分鐘轉了N圈，稱為N rpm。

一維運動與轉動運動的比較：

一維運動	轉動運動
$x(t)$ 【 $m$ 】	$\theta(t)$ 【 $rad$ 】
$v(t)=\dfrac{dx(t)}{dt}$ 【 $m/s$ 】	$\omega(t)=\dfrac{d\theta(t)}{dt}$ 【 $rad/s$ 】
$a(t)=\dfrac{dv(t)}{dt}$ 【 $m/s^2$ 】	$\alpha(t)=\dfrac{d\omega(t)}{dt}$ 【 $rad/s^2$ 】

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一維運動	轉動運動
$v=v_0+at$	$\omega=\omega_0+\alpha t$
$x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2$	$\theta-\theta_0=\omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2$
$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$	$\omega^2=\omega_0^2+2\alpha(\theta-\theta_0)$
$F=ma$ （牛二*）	$\tau=I \alpha$

牛二：牛頓第二運動定律
$\tau$ ：力矩（torque）

$\vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F}$

$\tau=I\alpha$

$I$ ：轉動慣量（moment of inertia）

$s=r \theta$ ⇒ $\dfrac{ds}{dt}=r \dfrac{d\theta}{dt}$ ⇒ 角速度 $\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$ ⇒ $v=r \omega$

$v=r \omega$ ⇒ $\dfrac{dv}{dt}=r \dfrac{d \omega}{dt}$ ⇒ 角加速度 $\alpha=\dfrac{d \omega}{dt}$ ⇒ $a_t=r \alpha$

（t 指的是tangential切線方向）

$a_r=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{(r \omega)^2}{r}=r \omega^2$

（r 指的是radian向心方向）

週期 $T$ ：轉一圈所花的時間

頻率 $f$ ：每秒所轉的圈數（ $rev/s$ ）

$\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=2 \pi f$

轉動能量

$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(r \omega^2)=\frac{1}{2}(mr^2)\omega^2$

$I=\sum_i (m_i r_i^2)=\int r^2\,dm$

I：轉動慣量（moment of inertia）

$K=\frac{1}{2}I\omega^2$

平行軸定理（parallel axis theorem）

$I=I_{CM}+M h^2$

$I_{CM}$ ：轉動軸通過質量中心的轉動慣量。

$h$ ：新的轉動軸，與通過質心的轉動軸的距離。

一物體，其質量不會改變，但當轉軸位置不一樣時，轉動慣量就會不一樣。轉動慣量跟轉軸物與物體的距離有關。

轉動慣量（moment of inertia）：

(a) 繞中心軸轉動的圓環： $I=MR^2$

【證明】

圓環半徑 $R$

$\rho=\dfrac{M}{2\pi R}$

$dm=\rho dl=\rho R d\theta=\dfrac{M}{2\pi}d\theta$

$I=\int r^2\, dm=\int_0^{2\pi}(R^2)(\dfrac{M}{2\pi}d\theta)=\dfrac{MR^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\theta=MR^2$

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(b) 繞中心軸轉動的中空圓柱（或有厚度的圓環）： $I=\dfrac{1}{2}M(R_1^2+R_2^2)$

有厚度的圓環

【證明】

$V=(\pi R_2^2-\pi R_1^2)z$

$\rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{\pi(R_2^2- R_1^2)z}$

$dm=\rho dV$

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【證明】

$\rho=\dfrac{M}{\pi R^2 L}$

$dm=\rho dV=\rho r dr d\theta dz=\dfrac{M}{\pi R^2L}r dr d\theta dz$

【證明】

$\rho=\dfrac{M}{\pi R^2}$

$dm=\rho da=\rho r dr d\theta=\dfrac{Mr}{\pi R^2}dr d\theta$

$I=\int r^2\, dm=\int r^2(\dfrac{Mr}{\pi R^2}dr d\theta)$

$=\dfrac{M}{\pi R^2} \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^R r^3dr=\dfrac{M}{\pi R^2}(2\pi)(\dfrac{1}{4}R^4)=\dfrac{1}{2}MR^2$

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(d) 圓柱： $I=\dfrac{1}{4}MR^2+\dfrac{1}{12}ML^2$

【證明】

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(e) 細長棒子： $I=\dfrac{1}{12}ML^2$

【證明】

$\lambda=\dfrac{M}{L}$

$dm=\lambda dx$

$I=\int r^2\, dm=\lambda \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \,dx=\dfrac{M}{L} \Big(\dfrac{1}{3}x^2\Big)\Big|_{-L/2}^{L/2}=\dfrac{1}{12}ML^2$

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細長棒子： $I=\dfrac{1}{3}ML^2$

【證明】

$\lambda=\dfrac{M}{L}$

$dm=\lambda dx$

$I=\int x^2\,dm=\lambda \int_0^L x^2 \,dx=\dfrac{M}{L} \Big(\dfrac{1}{3}x^3\Big)\Big|_0^L=\dfrac{1}{3}ML^2$

【證明】

平行軸定理 $I=I_{CM}+M h^2$

$I_{CM}=\dfrac{1}{12}ML^2$

$I=\dfrac{1}{12}ML^2+M (\dfrac{L}{2})^2=\dfrac{1}{3}ML^2$

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(f) 實心球體： $I=\dfrac{2}{5}MR^2$

【證明】

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(g) 球殼： $I=\dfrac{2}{3}MR^2$

【證明】

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(h) 繞直徑轉動的圓環： $I=\dfrac{1}{2}MR^2$

【證明】

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繞直徑轉動的圓盤： $I=\dfrac{1}{4}MR^2$

【證明】

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(i) 繞通過中心垂直軸轉動的平版： $I=\dfrac{1}{12}M(a^2+b^2)$

【證明】