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CH13重力

牛頓重力定律 $F=\dfrac{GMm}{r^2}$

$G=6.67 \times 10^{-11} N\cdot m^2/kg^2$

地球表面的重力

$F=ma_g=\dfrac{GMm}{r_E^2}$ ⇒ $a_g=\dfrac{GM}{r^2}$ （重力加速度）

$F=mg=\dfrac{GMm}{R_E^2}$ ⇒ $g=\dfrac{GM_E}{R_E^2}$ （地球地表重力加速度）

$M_E=5.98\times 10^{24}kg$ （地球質量）

$R_E=6.37\times 10^6 m$ （地球半徑）

重力加速度（ $a_g$ ）和自由落體加速度（ $g=9.8m/s^2$ ）有一些不一樣。

不一樣的原因歸納如下：

1）地球不均勻：地球密度隨位置不同而不同

2）地球不是正球形：兩極較扁，赤道較寬，赤道半徑比兩極半徑長約21公里。

3）地球會自轉： $F_g-ma_g=m(-\omega^2 R)$

$g=a_g-\omega^2 R$

北極： $g=a_g$

赤道： $R$ 最大

地球自轉角速度： $\omega=\dfrac{2\pi}{86400} (rad/s)$

$a_g-g=\omega^2 R=(\dfrac{2\pi}{T})^2 R=0.034m/s^2$ （ $g$ is less than $a_g$ by only $0.034m/s^2$ ）

地球內部的重力

$\rho=\dfrac{M_E}{V_E}=\dfrac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$ （地球密度）（先假設地球為均勻球體）

重力（gravitational force）：

$F(r)=\dfrac{G(\rho \frac{4}{3}\pi r^3)m}{r^2}=(G m \rho \frac{4}{3} \pi)r$

$=\dfrac{GM_E m}{R_E^3}r$ （質點m在地球內部所受的重力）

$=-Kr$ ……虎克定律

$F(r)=\dfrac{GMm}{r^2}$ （質點m在地球外部所受的重力）

重力場（gravitational field）：

$g(r)=\dfrac{F(r)}{m}=\dfrac{GM_E}{R_E^3}r$ （地球內部）

$g(r)=\dfrac{F(r)}{m}=\dfrac{GM}{r^2}$ （地球外部）

$g=\dfrac{F}{m}=\dfrac{GM_E}{R_E^2}=9.8m/s^2$ （地表的g值）

均勻球體內部的場，會隨著與球心的距離呈現線性變化。

但地球內部不是均勻分佈，其密度不是常數。

地球內部重力場：Kiwi的物理教室

http://kiwiphysics.blogspot.com/2016/04/blog-post.html

維基百科：殼層定理

1、球對稱物體對於球體外的重力貢獻如同將球體質量集中於球心。
2、在對稱球體內部的物體不受其外部球殼的重力影響。

將均勻球內部分成 5 層。

A點在第5層外，所以受到 1+2+3+4+5 影響。

B點在第3層外，受到 1+2+3 的影響，不受 4 和 5 的影響。計算B點重力時，可以不考慮第 4 層和第 5 層。

重力位能：

$W=\int Fdr=-GMm\int_R^\infty\dfrac{1}{r^2}dr$

$=\dfrac{GMm}{r}\Bigg|_R^\infty=0-\dfrac{GMm}{R}=-\dfrac{GMm}{R}$

$U=-\dfrac{GMm}{R}$

無窮遠處（ $h \approx \infty$ ）位能為0， $U=-\dfrac{GMm}{R_E+h}=0$

脫離速度：

因為能量守恆，將一個粒子，移到無窮遠處，此時它的速度為0。

可以列出以下式子：（注意：無窮遠處位能為0）

$K+U=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{-GMm}{R}=0$

$v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$ （要脫離一個重力場所需的最小速度）

黑洞（black hole）：

質量約 $M_h=1.99\times 10^{31}kg$ （約為太陽質量的10倍 $M_{sun}=1.99\times 10^{30}kg$ ）。

半徑為 $2.95\times 10^4m$ （大約30公里）

脫離速度 $v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}=\sqrt{\dfrac{2(6.67\times 10^{-11})(1.99\times 10^{31}kg)}{2.95\times 10^4m}}=2.9998\times 10^8m/s$

光速 $c=2.998\times 10^8 m/s$

黑洞的脫離速度大於光速

Kepler’s Law克卜勒定律

1、軌道定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽位在其中一個焦點。

2、面積定律：行星與太陽的連線，在相同時間內會掃過相同面積。

$dA=\frac{1}{2}r^2d\theta$

$\dfrac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\dfrac{d\theta}{dt}=constant$

$\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$

$r^2\omega=constant$

$r\cdot (r\omega\cdot m)=constant$

$rP=L=constant$ 角動量守恆

$\dfrac{dL}{dt}=\tau=0$ 兩質點間的重力為向心力

$rv=constant$

3、週期定律：任何行星運動週期的平方，與其軌道半長軸的立方成正比。

$F=\dfrac{GMm}{R^2}=\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{m}{R}(\dfrac{2\pi R}{T})^2$

圓形軌道周長為 $2\pi R$ ，星球繞一圈所花的時間為 $T$

因此星球速度為 $\dfrac{2\pi R}{T}$

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}R^3$

$T^2 \propto R^3$

補充：

地球半徑 $R=6380 km$ ，質量 $M=5.98\times 10^{24}kg$ ，低軌道衛星指的是距離地表2000公里以下。維基百科：低軌道。

計算低軌道衛星週期 T=___min。v=___m/s。

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3$

衛星高度與地心的距離： $r=R+h=6380 km+2000km=8380km$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{(8.38\times 10^6 m)^3}{(6.67\times 10^{-11} N\cdot m^2/kg^2)(5.98\times 10^{24}kg)}}$

$\approx 7631.89 s\approx 2.12 h$

$v=\dfrac{2\pi r}{T}=\dfrac{2\pi (8.38\times 10^6 s)}{7631.89 s} \approx 6,899 m/s \approx 24,836 km/h$

維基百科：中地球軌道：中地球軌道（Medium Earth Orbit, MEO）也叫中圓軌道，是位於低地球軌道（2,000公里）和地球靜止軌道（35,786公里）之間的人造衛星運行軌道。

問中地球軌道高度最低和高度最高時，人造衛星速度差異？

衛星高度與地心的距離： $r=R+h=6,380 km+35,786km=42,166km$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{(42.166\times 10^6 m)^3}{(6.67\times 10^{-11} N\cdot m^2/kg^2)(5.98\times 10^{24}kg)}}$

$\approx 86,141 s\approx 23.93 h$

補充：

地球同步軌道，指的是一個以地球為中心的軌道。其軌道周期與地球自轉周期一致，為23小時56分4秒（一個恆星日，約86,164秒）。

圖片來源：維基百科

問，這個高度（距離地表）r=____km？

$r^3=\dfrac{GM}{4\pi^2}T^2$ （距離地心位置）

補充：

月球，公轉週期=自轉週期（約27.3天）...永遠是同一面，面像地球。

補充：

維基百科：恆星演化

圖片來源：維基百科