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CH15簡諧運動

SHM（Simple Harmonic Motion）

$F=ma=-kx=m\dfrac{d^2x}{dt^2}$

（整理上式： $\dfrac{d^2x}{dt^2}+\dfrac{k}{m}x=0$ ）

假設 $x(t)=x_m cos(\omega t+ \phi)$

$v(t)=\dfrac{dx(t)}{dt}=-\omega x_m sin(\omega t+ \phi)$

$a(t)=\dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}=-\omega^2 x_m cos(\omega t+ \phi)=-\omega^2 x$

$F=-m\omega^2 x=-kx$

$\omega^2=\dfrac{k}{m}$

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

$\omega=2\pi f$

$T=\dfrac{1}{f}=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$

圖片來源：https://askeyphysics.org/home/

$t=0$ 時， $x=A$ ， $v=0$

$x(t)=Acos(\sqrt{\dfrac{m}{k}}t)$

$v_{max}=\omega A=A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

$a_{max}=\omega^2 A=\dfrac{Ak}{m}$

$F=ma$

$a$ 最大， $F$ 最大

$x=A$ 時， $ma=F=kA$ 最大

力學能 $E=\frac{1}{2}kA^2$

『力學能 E』=『動能 K』+『位能 U』

位能 $U=\frac{1}{2}kx^2$

動能 K=力學能 E-位能 U

折返點，速度 $v=0$

動能 $K=0$

力學能等於位能， $E=U$

擺動（pendulum）：

（一）單擺（simple pendulum）

$F=-mgsin\theta=ma=m\dfrac{d^2s}{dt^2}$

$s=L\theta$

$\dfrac{d^2s}{dt^2}=L\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

小角度時， $sin\theta \approx \theta$

$\dfrac{d^2\theta}{dt^2}+\dfrac{g}{L}\theta=0$

$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}}$

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$

（單擺，小角度擺動）（一般小角度指的是小於角度5度）

（二）複擺（物理擺，physical pendulum）

$\tau=-mgLsin\theta=I\alpha=I\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

小角度時， $sin\theta \approx \theta$

$\alpha=-\dfrac{mgL}{I}\theta$

$\dfrac{d^2\theta}{dt^2}+\dfrac{mgL}{I}\theta=0$

$\omega=\sqrt{\dfrac{mgL}{I}}$

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{I}{mgL}}$

（物理擺，小角度擺動）

兩個彈簧組合在一起

（1）

$F=k_1 x_1=k_2 x_2=k_{eff} (x_1+x_2)$

$\dfrac{F}{k_{eff}}=\dfrac{F}{k_1}+\dfrac{F}{k_2}$

$\dfrac{1}{k_{eff}}=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_{eff}}}=2\pi \sqrt{\dfrac{m(k_1+k_2)}{k_1 k_2}}$

（2）

$F=k_1 (x+x_{01})-k_2 (x_{02}-x)=k_{eff} x$

在平衡點 $k_1 x_{01}=k_2 x_{02}=0$

$F=k_1 (x+x_{01})-k_2 (x_{02}-x)=(k_1+k_2)x=k_{eff} x$

$k_{eff}=k_1+k_2$

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_{eff}}}=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_1+k_2}}$

（3）

同（2）， $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_{eff}}}=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k_1+k_2}}$

$F=k_1 (x+x_{01})+k_2 (x+x_{02})=k_{eff} x$

在平衡點 $k_1 x_{01}=k_2 x_{02}=0$

$F=k_1 (x+x_{01})+k_2 (x+x_{02})=(k_1+k_2)x=k_{eff} x$

$k_{eff}=k_1+k_2$

阻尼振盪（damping）：

強迫振盪：

施加一外力給自然擺動

系統自然頻率 $\omega$

外力施加角頻率 $\omega_d$