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CH34幾何光學

平面鏡（Plane mirrors）

大小一樣，左右相反。

正立虛像。

球面鏡（Spherical mirrors）

曲面鏡，反射面為曲面的鏡子稱為曲面鏡。

平面鏡能形成大小不變的正立虛像。

曲面鏡所成的像大小可以改變，正立和倒立都有可能。

可以是虛像，也可以是實像。

球面的反射

大多數透鏡為球面鏡，因此以球面介面來說明。

光源 S，經由介質 1（折射率 $n_1$ ）經過一球面，進入介質 2（折射率 $n_2$ ），聚在 P 點。此球面的球心點為 C，曲率半徑為 R。

光由介質 1 進入介質 2 有兩個路徑，一為S→V→P，另一為S→A→P。

光程（optical path length，OPL）可寫成 $(OPL)=n_1l_o+n_2l_i=n_1s_o+n_2s_i=constant$

光程（optical path length，OPL） $(OPL)=\Sigma_{i=1}^m n_i s_i$

$(OPL)=\int_s^p n(s)\,ds$

$(OPL)=nd=\Big(\dfrac{c}{v}\Big)d=c\Big(\dfrac{d}{v}\Big)=ct$

均勻介質中，同樣時間下，光在真空中可以走的距離。

圖中三角形SAC和ACP，利用餘弦定理和 $cos\phi=-cos(180-\phi)$

可以得到

$l_o=[R^2+(s_0+R)^2-2R(s_0+R)cos\phi]^\frac{1}{2}$

$l_i=[R^2+(s_i-R)^2-2R(s_i-R)cos\phi]^\frac{1}{2}$

因此(OPL)可改為

$(OPL)=n_1 l_o+n_2 l_i$

$=n_1 [R^2+(s_o+R)^2-2R(s_o+R)cos\phi]^\frac{1}{2}$

$+n_2 [R^2+(s_i-R)^2-2R(s_i-R)cos\phi]^\frac{1}{2}$

光程與角度 $\phi$ 無關

$\dfrac{d(OPL)}{d\phi}=0$

$\dfrac{n_1 R(s_0+R)sin\phi}{2l_o}-\dfrac{n_2 R(s_i-R)sin\phi}{2l_i}=0$

再根據費馬原理 $\dfrac{n_1}{l_0}+\dfrac{n_2}{l_i}=\dfrac{1}{R}(\dfrac{n_2 s_i}{l_i}-\dfrac{n_1 s_0}{l_0})$

假設 $\phi$ 很小，A 點接近 V 點，即 $cos\phi \approx 1$

$l_0\approx s_0$ 且 $l_i\approx s_i$

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$\dfrac{n_1}{s_0}+\dfrac{n_2}{s_i}=\dfrac{1}{R}(n_2-n_1)$

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(i) 光通過球面後，成為平行光，即 $s_i=\infty$

$\dfrac{n_1}{s_0}+\dfrac{n_2}{\infty}=\dfrac{1}{R}(n_2-n_1)$

我們定義此時的 $s_o$ 為第一個聚焦長度（the first focal length）（物聚焦長度，the object focal length）。

$f_0=\dfrac{n_1}{n_2-n_1}R$

(ii) 平行光通過球面後聚在一點，即 $s_0=\infty$

$\dfrac{n_1}{\infty}+\dfrac{n_2}{s_i}=\dfrac{1}{R}(n_2-n_1)$

我們定義此時的 $s_i$ 為第二個聚焦長度（the second focal length）（像聚焦長度，the image focal length）。

$f_i=\dfrac{n_2}{n_2-n_1}R$

薄透鏡（Thin lenses）：

幾何成像：

薄透鏡成像公式

$\dfrac{1}{d_o}+\dfrac{1}{d_i}=\dfrac{1}{f}$

理論放大率 $m=\dfrac{h_i}{h_o}=\dfrac{d_i}{d_o}$

$\dfrac{1}{d_i}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_o}$

$d_i=\dfrac{f d_0}{d_0-f}$

$m=\dfrac{d_i}{d_o}=\dfrac{f}{d_0-f}$

關於成像的幾何作圖：

光軸：光學系統中，一條假想的線，入射光線若和光軸重合，光將沿光軸傳遞。

物在兩倍焦距外...

物在兩倍焦距上...

物在焦距與兩倍焦距間...

物在焦距上...成像在無窮遠處

物在焦距內...虛像

補充：Fresnel lens（菲涅耳透鏡）

光學儀器

顯微鏡

望遠鏡