CH04二維三維運動

位置（position）與位移（displacement）

位置 $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

位移 $\Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1=(x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k})-(x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k})$

$=(x_2-x_1)\hat{i}+(y_2-y_1)\hat{j}+(z_2-z_1)\hat{k}$

$=\Delta x\hat{i}+\Delta y\hat{j}+\Delta z\hat{k}$

平均速度（average velocity）與瞬時速度（instantaneous velocity）

平均速度 $\vec{v}_{av}=\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

瞬時速度 $\vec{v}=\dfrac{d \vec{r}}{dt}$

平均加速度（average acceleration）與瞬時加速度（instantaneous acceleration）

平均加速度 $\vec{a}_{av}=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

瞬時加速度 $\vec{v}=\dfrac{d \vec{v}}{dt}$

平均：從頭到尾的平均值、某一段時間內的平均值

瞬時：瞬間的值

拋體運動（Projectile Motion）

拋體運動中，水平（horizontal）運動與鉛直（vertical）運動是互相獨立的，也就是說，兩者互不影響。

$\vec{v}=\vec{v}_{0x}+\vec{v}_{0y}$

$v_{0x}=v_0 cos \theta$

$v_{0y}=v_0 sin \theta$

拋體到達最高點時， $v_{y}=0$

$v_{y}=v_0 sin \theta-gt=0$

從拋出到最高點的時間： $t=\dfrac{v_0 sin \theta}{g}$

飛行總時間： $t=\dfrac{2v_0 sin \theta}{g}$

從地面拋出，落到地面，鉛直位移為零： $0=(v_0 sin \theta)t-\dfrac{1}{2}gt^2$

水平飛行距離：

$R=(v_{0}{\cos \theta })t=\dfrac{v_0^2sin2\theta_0}{g}$

互餘的射角 $\theta$ 、 $90-\theta$ 代入上式

$R_{\theta}=\dfrac{2v_0^2 sin\theta cos\theta}{g}=\dfrac{2v_0^2 sin(90-\theta) cos(90-\theta)}{g}=R_{90-\theta}$

45度射角有最大的水平射程。

互餘的射角有相同的水平射程。

拋射角度：30度和60度。

拋射角度：35度和55度。

拋射角度：40度和50度。

鉛直飛行最大高度：

$H=v_0sin\theta t-\dfrac{1}{2}gt^2=\dfrac{v_0^2sin^2\theta}{2g}$

運動軌跡方程式：

$y=(tan\theta) x-\dfrac{g}{2(v_0vos\theta)^2}x^2$

拋體運動（Projectile motion）：最大射程的射角公式 $tan \theta_m=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{2gh}{v_0^2}}}$

等速圓周運動（Uniform Circular Motion）

向心加速度 $a=\dfrac{v^2}{r}$

週期 $T=\dfrac{2 \pi r}{v}$

圓周運動中， $\vec{v}=v_x \hat{i}+v_y \hat{j}=(-v sin \theta)\hat{i}+(v cos \theta)\hat{j}$

圓周上一點P（ $x_p, y_p$ ）

$sin \theta=\dfrac{y_p}{r}$

$cos \theta=\dfrac{x_p}{r}$

上述式子可改為 $\vec{v}=(-\dfrac{v y_p}{r})\hat{i}+(\dfrac{v x_p}{r})\hat{j}$

$\vec{a}=\dfrac{d \vec{v}}{dt}=(-\dfrac{v}{r}\dfrac{dy_p}{dt})\hat{i}+(\dfrac{v}{r}\dfrac{dx_p}{dt})\hat{j}$

$\dfrac{dy_p}{dt}=v_y=vcos \theta$

$\dfrac{dx_p}{dt}=v_x=vsin \theta$

$\vec{a}=(-\dfrac{v^2}{r}cos \theta)\hat{i}+(\dfrac{v^2}{r}sin \theta)\hat{j}$

$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\dfrac{v^2}{r}$

$\vec{v}=v\hat{v}$

$\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\underline{\dfrac{dv}{dt}\hat{v}}+\underline{v\dfrac{d\hat{v}}{dt}}$ = (切線加速度) + (向心加速度)

$\Delta \hat{v}$ 改變的大小為 $|\Delta \theta|=\Delta \theta$

$\Delta \vec{r}$ 的大小為 $\Delta r=r\Delta \theta$ ==> $\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{r}\dfrac{dr}{dt}$

向心加速度 $|v\dfrac{d\hat{v}}{dt}|=v\dfrac{d|\hat{v}|}{dt}=v\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{v}{r}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{v^2}{r}$

mengwen

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