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CH11轉動 II

一半徑為 $R$ 的輪子，以角速度 $\omega$ 滾動，而不滑動，其輪心速度 $v_{CM}=\omega R$ （smooth rolling motion）。

$s=R\theta$

$v_{CM}=\dfrac{ds}{dt}$

$\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$

$v_{CM}=\omega R$ （smooth rolling motion）

Rotation（轉動） + Translational（平移）＝Rolling（滾動）

轉動：

平移：

滾動=轉動+平移：

當一輪子只滾動而不滑動（平移）時，輪子與地板的接觸點P點是暫時靜止的，可以把他視為暫時的轉動中心。

轉動動能：

$K=\dfrac{1}{2}I_p \omega^2$

$\omega$ ：輪子的角速度。

$I_p$ ：輪子在固定軸P上的轉動慣量

$I_p=I_{CM}+MR^2$

$I_{CM}$ ：通過輪子質量中心的轉動慣量

$M$ ：輪子的質量

$R$ ：輪子的半徑

$K=\dfrac{1}{2} I_{CM} \omega^2+\dfrac{1}{2} MR^2 \omega^2$

$v_{CM}=\omega R$

$K=\dfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2+\dfrac{1}{2}Mv_{CM}^2$

摩擦（friction）與滾動（rolling）

一輪子以線性加速度 $\vec{a}_{CM}$ 做水平滾動，沒有滑動。一靜摩擦力（static frictional force） $\vec{f}_s$ 作用在P點。是smooth rolling。

$a_{CM}=\dfrac{dv_{CM}}{dt}$

$\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}$

$a_{CM}=\alpha R$

如果輪子有淨力作用其上，輪子是滑動的，則作用在P點的摩擦力為動摩擦（kinetic frictional force） $\vec{f}_k$ 。此時，此輪子運動不是smooth rolling， $a_{CM}=\alpha R$ 這個公式不適用。

力矩（Torque）

$\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}$

$|\vec{\tau}|=|\vec{r} \times \vec{F}|=r F sin\theta$

$\vec{r}=(x,y,z)$

$\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)$

$\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}=\tau_x \hat{i}+\tau_y \hat{j}+\tau_z \hat{k}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\x&y&z\\F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}$

角動量（angular monentum）

$\vec{l}=\vec{r}\times\vec{p}=m\vec{r}\times\vec{v}$

$v=r\omega$

$l=mvr=mr^2\omega=I\omega$

$\vec{F}_{net}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}$

$\vec{\tau}_{net}=\dfrac{d\vec{l}}{dt}$

$\tau=\dfrac{dl}{dt}=I\dfrac{d\omega}{dt}=I\alpha$

$\tau=I\alpha$