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環擺經驗方程式

假設週期 T 與直徑 d 的關係

$T=A\cdot d^n$

$T$ ：週期
$A$ ：比例常數
$d$ ：直徑
$n$ ：一未知常數

$\log T=\log A+n \log d$

金屬環擺動滿足牛二：

$-Mglsin\theta=I\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

$M$ ：物理質量
$l$ ：質心到轉軸距離
$I$ ：轉動慣量
$\theta$ ：擺盪角度

在小角度近似下 $sin\theta\approx\theta$

$\dfrac{d^2 \theta}{dt^2}+\dfrac{Mgl}{I}\theta=0$

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{I}{Mgl}}$

這裡的轉動慣量： $I=\dfrac{1}{2}M(R_1^2+R_2^2)+M(\dfrac{R_1+R_2}{2})^2$

$R_1$ ：外半徑
$R_2$ ：內半徑

均勻圓環的質心在圓心上，若擺盪軸在環的邊緣，則 $l=R=\dfrac{d}{2}$

$R=\dfrac{R_1+R_2}{2}$

假設 $R_1\approx R_2$

$I \approx 2MR^2$

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{2I}{Mgd}}\approx 2\pi \sqrt{\dfrac{d}{g}}$

兩邊取對數

$\log T=\log(\dfrac{2\pi}{\sqrt{g}})+\dfrac{1}{2}\log d$

比較式子，得到

$A=\dfrac{2\pi}{\sqrt{g}}$

$n=\dfrac{1}{2}$

金屬環的凹痕：刀刃必須與金屬環凹痕對準。

Excel畫圖找斜率與截距

$\log T=\log A+n \log d$

從斜率得到 n =？

從截距 $\log A$ ，求 A =？

量測數據時留意單位！

利用上方公式推導得到的 A 和 n 理論值，可以得到週期 T 的理論值。