CH22電場 | mengwen

$\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{q_0}$

電力線會從正電荷出發，終止於負電荷。

電場方向：電力線上任一點的切線方向，通常會加上箭頭。

若建立電場的電荷為正電荷，電力線自正電荷出發，指向四周。

若建立電場的電荷為負電荷，電力線則指向負電荷。

電力線越密集，表示電場越大。

兩個正電荷產生的電場

一個正電荷，一個負電荷產生的電場

點電荷的電場： $\vec{F}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{q q_0}{r^2} \hat{r}$

$\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{q_0}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{q}{r^2} \hat{r}$

$\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3+\vec{F}_4+...+\vec{F}_n$

$\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{q_0}\\\\=\dfrac{\vec{E}_1}{q_0}+\dfrac{\vec{E}_2}{q_0}+\dfrac{\vec{E}_3}{q_0}+\dfrac{\vec{E}_4}{q_0}+...+\dfrac{\vec{E}_n}{q_0}\\\\=\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3+\vec{E}_4+...+\vec{E}_n$

電偶極，electric dipole

兩個分隔一段距離，電量相等，正負相反的電荷。

電偶極矩，electric dipole moment， $\vec{p}$

對於分別帶有正電量 $+q$ 、負電量 $-q$ 的兩個點電荷的簡單案例，電偶極矩 $\vec{p}$ 為： $\vec{p}=q\vec{d}$ 。其中， $\vec{d}$ 是從負電荷位置指至正電荷位置的位移向量。

電偶極的電場1/3

$p=qd$

$p$ ：electric dipole moment（單位： $C \cdot m$ ）

$E_{+}=E_{-}=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{z^2+(\frac{d}{2})^2}$

$E=(E_{+}+E_{-}) cos\theta$ （方向：往下）

$=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{2q}{z^2+(\frac{d}{2})^2}\dfrac{\frac{d}{2}}{(z^2+(\frac{d}{2})^2)^{1/2}}$

$=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{qd}{(z^2+(\frac{d}{2})^2)^{3/2}}$

$(z>>d)$

$=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{p}{z^3}=\dfrac{kp}{z^3}$

電偶極的電場2/3

$E=E_{+}+E_{-}$

$=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{r_{+}^2}+\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{-q}{r_{-}^2}$

$(z=\dfrac{r_{+}+r_{-}}{2}=\dfrac{(z-\frac{d}{2})+(z+\frac{d}{2})}{2})$

$=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{(z-\frac{d}{2})^2}-\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{(z+\frac{d}{2})^2}$

......

$=\dfrac{qd}{2\pi \epsilon_0 z^3}\Big[\dfrac{1}{(1-\frac{d}{2z})^2}\Big]$

$(z>>d)$

$=\dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}\dfrac{qd}{z^3}$

$=\dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}\dfrac{p}{z^3}=\dfrac{2kp}{z^3}$

電偶極的電場3/3

$E=E_{+}+E_{-}$

$=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{r_{+}^2}+\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{-q}{r_{-}^2}$

......

...

線電荷的電場1/2

線電荷密度 $\lambda$

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda dL}{r^2}$

$r=Rcos\theta$

$L=Rtan\theta$

$dE=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda d\theta}{R}$

$dE_x=dEcos\theta$

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda}{R}\int_{-\theta_1}^{\theta_2} cos\theta \,d\theta$

$=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda}{R}[sin\theta]_{-\theta_1}^{\theta_2}$

$=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda}{R}[sin\theta_2-sin\theta_1]$

$\theta_1=\theta_2=\dfrac{\pi}{2}$

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2\lambda}{R}=\dfrac{2k\lambda}{R}$

線電荷的電場2/2

線電荷密度 $\lambda$

圓環線電荷中心軸上方一點 P 的電場

$dq=\lambda dL$

$dE=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}$

$=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda dL}{(z^2+R^2)}$

$cos \theta=\dfrac{z}{r}=\dfrac{z}{(z^2+R^2)^{3/2}}$

......

...

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{qz}{(z^2+R^2)^{3/2}}$

$z>>R$ ， $E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{z^2}$

帶電圓盤的電場

面電荷密度 $\sigma$

$dq=\sigma dA=\sigma(2\pi r dr)$

$dE=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{z\sigma 2\pi r dr}{(z^2+r^2)^{3/2}}\\\\=\dfrac{z\sigma}{4\epsilon_0}\dfrac{2r dr}{(z^2+r^2)^{3/2}}$

$E=\int dE=\dfrac{z\sigma}{4\epsilon_0}\int_{0}^{R}\dfrac{2r}{(z^2+r^2)^{3/2}}\,dr$

令 $X=z^2+r^2$

$dX=2rdr$

$E=\dfrac{z\sigma}{4\epsilon_0}\int\dfrac{dX} {X^{3/2}}\\\\=\dfrac{z\sigma}{4\epsilon_0}\dfrac{X^{-1/2}}{-\frac{1}{2}}\\\\=\dfrac{z\sigma}{4\epsilon_0}[\dfrac{(z^2+r^2)^{-1/2}}{-\frac{1}{2}}]_{R}^{0}$

$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})$

$R\to \infty$ ， $E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$

電場中的點電荷：

一帶電粒子，電荷，受到一靜電力，此力為向量 $\vec{F}=q\vec{E}$

而電場 $\vec{E}$ 是其他電荷在該粒子處所發生的電場。此電場並不是該粒子自身所產生的，為了區分這兩個電場的不同，上式作用於該粒子的電場被稱為外電場（external field）。

一帶電粒子並不受其自身電場影響。

基本電荷的量測：

密立根油滴實驗（Robert Millikan）

電場中的電偶極：

電偶極在一均勻外電場 $\vec{E}$ 中的行為，可由 $\vec{E}$ 與 $\vec{p}$ 決定。

$\vec{\tau}=\vec{p}\times \vec{E}$ （電偶極的轉矩）

Torque轉矩

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

符號說明：

$\bigotimes$ ：進入畫面

$\bigodot$ ：出畫面

陰極射線管：

電子經過的路途中，有兩對偏折板－水平偏折板、垂直偏折板。如果偏折板間不加偏折電場，則電子沿著 $Z$ 方向做直線運動，而在螢幕上中央位置產生亮點。由於加速陽極的電位比陰極電位高 $V_1$ ，電子穿過陽極（通常為中空的圓柱）後，在 $Z$ 方向的速度為：

$\dfrac{1}{2}mv_z^2=e V_1$

$v_z=\sqrt{\dfrac{2 e V_1}{m}}$

其中 $e$ 為電子電荷電量 $1.6*10^{-19}C$

$m$ 為電子質量 $9.11*10^{-31}kg$

$V_1$ 為伏特

$v_z$ 公尺/秒（ $m/s$ ）

如果在垂直偏折板上施一固定電位差 $V_2$ ，則兩板之間的電場強度為 $E=\dfrac{V_2}{d}$ ， $d$ 為兩板之間的距離。當電子從垂直偏折板間通過時，受電場作用而有垂直方向加速度 $a_y=\dfrac{eE}{m}$ （ $F=ma_y=eE$ ， $a_y=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{eV_2}{md}$ ），此加速度使電子往 y 方向偏折，電子離開偏折板後不再受力而做等速直線運動。因此，在螢光幕上亮點位置向 y 方向偏折的距離 y 為：