梯度 | mengwen

梯度（Gradient）、散度（Divergence）與旋度（curl）：

$\triangledown u=\dfrac{ \partial u}{ \partial x} \hat{x}+\dfrac{ \partial u}{ \partial y} \hat{y}+\dfrac{ \partial u}{ \partial z} \hat{z}$

2】散度（Divergence）

$\triangledown \cdot \vec{v}=\dfrac{ \partial v_x}{ \partial x} +\dfrac{ \partial v_y}{ \partial y} +\dfrac{ \partial v_z}{ \partial z}$

3】旋度（curl）

$\triangledown \times \vec{v}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{ \partial }{ \partial x} & \frac{ \partial }{ \partial y} & \frac{ \partial }{ \partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}=\hat{x}(\dfrac{ \partial v_z}{ \partial y} -\dfrac{ \partial v_y}{ \partial z} )+\hat{y}(\dfrac{ \partial v_x}{ \partial z}-\dfrac{ \partial v_z}{ \partial x}) +\hat{z}(\dfrac{ \partial v_y}{ \partial x}-\dfrac{ \partial v_x}{ \partial y} )$

梯度（Gradient）：

$\triangledown u=\dfrac{ \partial u}{ \partial x} \hat{x}+\dfrac{ \partial u}{ \partial y} \hat{y}+\dfrac{ \partial u}{ \partial z} \hat{z}$

維基百科：梯度

『梯度的解釋：假設有一個房間，房間內所有點的溫度由一個純量場 $\phi$ 給出的，即點 $(x,y,z)$ 的溫度是 $\phi(x,y,z)$ 。假設溫度不隨時間改變。然後，在房間的每一點，該點的梯度將顯示變熱最快的方向。梯度的大小將表示在該方向上變熱的速率。

考慮一座高度在 $(x,y)$ 點是 $H(x, y)$ 的山。 $H$ 這一點的梯度是在該點坡度（或者說斜度）最陡的方向。梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。

梯度也可以告訴我們一個數量在不是最快變化方向的其他方向的變化速度。再次考慮山坡的例子。可以有條直接上山的路其坡度是最大的，則其坡度是梯度的大小。也可以有一條和上坡方向成一個角度的路，例如投影與水平面上的夾角為60°。則，若最陡的坡度是40%，這條路的坡度小一點，是20%，也就是40%乘以60°的餘弦。

這個現象可以如下數學的表示。山的高度函數 $H$ 的梯度點積一個單位向量給出表面在該向量的方向上的斜率。這稱為方向導數。』

CH08能量守恆

Conservative force（保守力）

1、外力 = 位能函數的負梯度

$\vec{F}=- \triangledown U$

CH24電位

$\vec{E}=- \triangledown V$